(1-q)(1-q^2 )(1-q^3 )(1-q^4 )&=1-q-q^2+2q^5-q^8-q^9+q^{10}\\ たった今修正いたしました。 今後とも何卒よろしくお願いいたします。, ウチダショウマ。数学が大好きな25歳男性。東北大学理学部数学科卒業→教員採用試験1発合格→高校教師になるも、働き方に疑問を感じわずか1年で退職。現在は塾講師をしながら、趣味ブロガーとして活動中。楽しい。, 確認画面は表示されません。上記内容にて送信しますので、よろしければチェックを入れてください。, 問題. 今日は誠に勝手ながら和の講師岡本が狂おしいほど好きな数学の定理の1つ「オイラーの五角数定理」について熱く語っていこうと思います。 合同式の利用【2005年数学オリンピック】 なお、話は変わりますが正五角形は各頂点を線で結ぶことによって2種類の長さの線が得られます。この2つの線分の比は「黄金比(\(=1.618\cdots\))」になっています。, 芸術の世界でも「美しい比率」「神の比率」と言われている黄金比ですが、実は正五角形との深い関係もあったのですね!, さて、五角数定理の証明ですが、組み合わせ論的手法や解析的手法などさまざまな方法が知られています。ここではヤコビの三重積公式を使った証明と \(q\)-超幾何級数を用いた証明を簡単ではありますがご紹介いたします。ぜひ追ってみてください。, \begin{align*}\prod_{m=1}^N(1-q^{m-1}x)&=(1-x)(1-qx)(1-q^2x)\cdots(1-q^{N-1}x)=(x;q)_N\\  しかし、分子にある場合、つまり、, という積分は a = tanθ という置き換えでも解くことができません。  まず、Hを中心とする円に内接する正五角形ABCDEについて考える。 超難問 です。 ... 本問では 微 積分 を使い ... 本問では以下の5つの未知数(変数)が必要になります。 \( t = \) 正午から経過した時間(時) \( x(t) = \) 除雪車が移動した距離 (マイル) \( h(t) = \) 雪が積もった高さ(インチ) \( b = \) 雪が降り始めてから正午までに経過した時間(時) \( k_1 ≡3・1+2・1+1−6  初めのとっかかりが難しい問題でしょうか、とり... 問題 今日は誠に勝手ながら和の講師岡本が狂おしいほど好きな数学の定理の1つ「オイラーの五角数定理」について熱く語っていこうと思います。 新型コロナの影響もあり、ご自宅で1日を過ごすことが多くなってきたと思います。数学の話題で一息したい、あるいは  ところで、 を含む積分は、以下の方法で統一的に解くことができます。そこで、別解としてその解法を上げておきましょう。ポイントは、, とおくことです。脈略がないので「なぜ?」と思うかと思いますが、ここでは「 を含む積分は、このように置き換える」と覚えておくとよいでしょう。なぜこの解き方ができるかは別ページで紹介します。, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。, α = { ( 28/27 )+1 }^{1/3} - { ( 28/27 ) - 1 )^{1/3} とする。
Copyright © 2005-2020 イズミの数学 All Rights Reserved. &=\sum_{n=0}^{2N}\frac{(q^{2N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}q^{\frac{1}{2}(-N+n)(-N+n-1)}(-x)^{-N+n}\end{align*}, を得ます。またここで、\((x;q)_n=\frac{(x;q)_{\infty}}{(q^n x;q)_{\infty}} \)という変形を考え整理すると, $$(x;q)_N(q/x;q)_N=\sum_{n=-N}^N\frac{(q^{N-n+1};q)_{\infty}(q^{N+n+1};q)_{\infty}}{(q^{2N+1};q)_{\infty}(q;q)_{\infty}}q^{\frac{1}{2}n(n-1)}(-x)^n$$, $$(x;q)_{\infty}(q/x;q)_{\infty}=\lim_{N\to \infty}(x;q)_N(q/x;q)_N=\frac{1}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{\frac{1}{2}n(n-1)}(-x)^n.$$, 両辺に\((q;q)_{\infty}\)を掛けることでヤコビの三重積公式を得ました。, $$(x;q)_{\infty}(q/x;q)_{\infty} (q;q)_{\infty}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{\frac{1}{2}n(n-1)}(-x)^n.$$, 仕上げです。上の公式において \(x\to q\), \(q\to q^3 \)という、うまい置き換えを行います。すると左辺は, $$(q;q^3)_{\infty}(q^2;q^3)_{\infty}(q^3;q^3)_{\infty}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{3m-2})(1-q^{3m-1})(1-q^{3m})=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^m )$$, $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{\frac{3}{2}n(n-1)}(-q)^n=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{\frac{3}{2}n(n-1)+n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n-1)}$$, $$\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^m) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n-1)}$$, が証明されました!うまい変形ですね…!うますぎて馬になっちゃいそうです。なにはともあれ、これでオイラーの五角数定理はもうあなたのものです!!, $$F_q (a,b;x)≔1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(aq;q)_n}{(bq;q)_n} x^n $$, \(q\) は先ほどと同様に \(|q|<1\) を満たす複素パラメータとしておきます。ちょっとした変形により\(F_q (a,b;qx)\) と\(F_q (aq,b;x)\) の関係式, \begin{align*}F_q (a,b;x)&=\frac{1-b}{1-x}+\frac{b-aqx}{1-x} F_q (a,b;qx)\\  正二十面体の各面は正三角形であり、1つの頂点には5つの正三角形が集まっている。 $1$ 次式と $1$ 次式の平方とその積で割った余り: : c: 20’ 複素数と方程式. Ameba新規登録(無料) ログイン. n を自然数とする。 n, n + 2, n + 4 がすべて素数であるのは n = 3 の場合だけであることを示せ。 (1) 整数を係数とする3次方程式で、αを解に持つものがあることを示せ。
 正二十面体の体積を求めてみよう。 イズミの解答への道 (1) 関数 f ( x ) が x = a で微分可能とはどういうことか、説明せよ。
どうぞよろしくお願いいたします。, 小林さん、ご指摘ありがとうございます! (1-q)(1-q^2 )(1-q^3 )(1-q^4 )(1-q^5 )&=1-q-q^2+q^5+q^6+q^7-q^8-q^9-q^{10}+q^{13}+q^{14}-q^{15}\end{align*}, 最終的には無限に掛け合わせるので、右辺は形があまりはっきりしないですが、どうやら絶妙に各項がキャンセルし合い、生き残る項はなんと五角数の冪のみというのが五角数定理です!なんとも不思議ですね。, 右辺は\(1,2,3,4,\ldots\)と続く、いわばもっとも自然な数の並びの「掛け算」です。それが五角形を起源とする数の「足し算」として結び付けられる…。どうやら「五角形」というのは実は非常に自然な形なのかもしれません。 因数定理. 国際数学オリンピック(imo)の過去問の中でも完答者が極めて少ない超難問を3問紹介します。 マスターデーモン(整数問題) 20世紀最難問(幾何不等式) 過去問の中で最難問(組合せ) ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう。.  ACとBEの交点をIとすると... a , b は a ≧ b > 0 を満たす整数とし、 x と y の2次方程式 x2 + ax + b = 0 , y2 + by + a = 0 がそれぞれ整数解をもつとする。
「整数問題の解き方のコツ」を知りたいですか?本記事では、整数問題の難問・良問3選(数学オリンピックや大学入試問題)の解き方のコツから、おすすめ参考書(整数問題集)まで、わかりやすく解説します。「整数問題マスター」になりたい方必見です! 多項式の一致と代入値の一致: : d: 20’ 複素数と方程式. (2) αは整数であることを示せ。また、その整数を答えよ。, 四面体OABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。
 そもそも円周率とはなんだったか? という定義を知らないと書き出しから困ります。解答には円周率の定義を書くことも必要となります... 問題 ≡3・1+2・1+6・1−6 $2$ 個の $1$ 次式とその積で割った余り: : b: 10’ 複素数と方程式. ホーム ピグ アメブロ. (1) a = b とするとき、条件を満たす整数 a をすべて求めよ。
(2) 「関数 y = f ( x ) が x = a で微分可能である」と「関数 y = f ( x ) が x = a で連続である」とはどのような関係にあるか述べよ。またそれを証明せよ。
このページは「高校数学Ⅱ:微分と積分」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。 解答の 定積分 $\displaystyle \int_0^2 \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}} dx$ を求めよ。[2007 京都大・理乙]イズミの解答への道 積分はある程度は慣れですが、「なんとなく」で解いているようでは答え Copyright© WAKARA Corporation. All Rights Reserved. 3辺が 5 , 12 , 13 の直角三角形の最鋭角の角度 [2007 早稲田大・教育]. 剰余の定理. [1997 一橋大] 3辺が 5 , 12 , 13 の直角三角形の最鋭角の角度 [2007 早稲田大・教育]. だと思われます。 (1) ${}_n \text{C}_0 + {}_n \text{C}_1 + {}_n \text{C}_2 + \cdots + {}_n \... 次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。
Copyright © 2005-2020 イズミの数学 All Rights Reserved.  しかし、分子にある場合、つまり、, という積分は a = tanθ という置き換えでも解くことができません。 (3) ある区間 a < x < b で微分可能な関数 f ( x ) , g ( x ) について、導関数の定義から、関数の積 f ( x ) g ( x ) の導関数を求めよ。. F_q (a,b;x)&=-\frac{(1-b)aq}{b-aq}+\frac{(1-aq)(b-aqx)}{b-aq} F_q (aq,b;x)\end{align*}, が得られます。これを合わせて\(F_q (aq,b,qx)\)との関係式が計算できます。, $$F_q (a,b;x)=\left(\frac{1-b}{1-x}\right)\left(1-\frac{b-aqx}{b-aq}aq\right)+\frac{(1-aq)(b-aqx)(b-aq^2 x)}{(1-x)(b-aq)} F_q (aq,b;qx).$$, $$(1-x)F_q(a,b;x)=(1-b)\left(1-\frac{b-aqx}{b-aq}aq\right)+\frac{(1-aq)(b-aqx)(b-aq^2 x)}{b-aq}F_q(aq,b;qx).$$, さらに\(a=x,b=0\)とし、\(f_q (x)=(1-x)F_q (x,0;x)\)とおくと\(f_q(x)\)に関する関係式, $$f_q(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n-1)}x^{3n-1}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n+1)}x^{3n}$$, $$\lim_{x \to 1}⁡(1-x)F_q(a,b;x)=\frac{(aq;q)_{\infty}}{(bq;q)_{\infty}}$$, $$(q;q)_{\infty}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n+1)}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n-1)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n q^{\frac{1}{2}n(3n-1)}$$, つまり、オイラーの五角数定理が証明されました…。鮮やかです。もう何でしょうね、全ての式が美しく見えてきます。ずっと登場している複素パラメータの \(q\) なんて、もうそのフォルム自体が美しくないですか?, この世には、アルファベット \(q\) が大好きな人類(いわゆる「 \(q\) -人類」)と、そうでない人類の2つに分かれます。 岡本は前者です。, ※【パラメータ \(q\) について】実は \(q\)-解析という数学の一分野があります。量子群や組み合わせ論、結び目不変量、特殊関数、ラマヌジャンのテータ函数など様々な話題と結びついており、いまでも多くの人を魅了しています(と信じています)。, いかがでしたでしょうか?もちろん細かい議論や式変形などは言及していませんが、五角数定理の証明の雰囲気と美しさを少しでも感じて頂ければ幸いです。なお、今回の内容は「オイラーに学ぶ『無限解析序説』への誘い(野海正俊)」と「Basic Hypergeometric Series and Applications (Nathan J.  具体的な手法が思い付かないときは『実験する』が鉄則。今回もそれに則って、本当に n... 数列の1つ目の難関であるシグマの公式を、実際の入試問題を通じて確認していきましょう。, m を 2015 以下の正の整数とする。 2015Cmが偶数となる最小の m を求めよ。. (2) a > b とするとき、条件を満たす整数の組 ( a , b ) をすべて求めよ。. すべての正の整数 n に対して 5n + an + b が 16 の倍数となるような 16 以下の正の整数 a , b を求めよ。 どのような $0$ 以上の $2$ つの整数 $m$ と $n$ を用いても $x=3m+5n$ とは表すことができない $1$ 以上の $x$ をすべて求めなさい。, 今の問題を一般化した性質です。示すのはちょっと大変なので、とりあえずここでは「実験して規則性を確かめる」これだけ押さえておけばOKです。, この参考書一冊やり込めば、大学受験の整数問題で怖いものはほとんどなくなるでしょう。結構古い書籍ですが、一番オススメな参考書です。, 「整数の性質」の総まとめ記事です。本記事では、整数の性質の解説記事全25個をまとめています。「整数の性質をしっかりマスターしたい」「整数の性質を自分のものにしたい」という方は必見です。, じゃあ、$a_n≡0 \pmod{p}$ となるように、上手く $n$ を設定するか!, $n=p-2$ として、$6a_{n}$ を考えれば、フェルマーの小定理が使えるぞ…?. は 芸能人ブログ 人気ブログ. 不定方程式$$3p^3-p^2q-pq^2+3q^3=2013$$を満たす自然数 $p$,$q$ の組をすべて求めなさい。, \begin{align}3p^3-p^2q-pq^2+3q^3&=3(p^3+q^3)-pq(p+q)\\&=3(p+q)(p^2-pq+q^2)-pq(p+q)\\&=(p+q)(3p^2-3pq+3q^2-pq)\\&=(p+q)(3p^2-4pq+3q^2)\end{align}, \begin{align}( \ p+q \ , \ 3p^2-4pq+3q^2 \ )=( \ 3 \ , \ 11×61\ ) \ , \ ( \ 11 \ , \ 3×61 \ ) \ , \ ( \ 33 \ , \ 61 \ )\end{align}, \begin{align}3p^2-4pq+3q^2&=3p^2+6pq+3q^2-10pq\\&=3(p+q)^2-10pq\end{align}, 問題. (1-q)(1-q^2 )(1-q^3 )&=1-q-q^2+q^4+q^5-q^6\\ 左辺は「全て自然数 \(m\) に対して積」を考えており、右辺では「全ての整数 \(n\) に対して和」を考えています。こうしたいわゆる「無限積=無限和」という等式はリーマンゼータ函数の等式, $$\prod_{p:\text{素数}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{n^s}$$, と同様になんとも言えない妖艶な雰囲気を醸し出しており、私の大好物です(なお、この等式の左辺も「オイラー積」と、やはりオイラーの名が冠されています)。

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