そんなに早く終了すると悲しいです( ; ; ). この手順に従って、連立方程式を解いていきましょう。 手順① 1つの文字を消し、2つの文字の連立方程式を作る. \qquad \therefore \quad \left\{\begin{array}{l} \displaystyle a = -4 \\ \displaystyle b = 1 \end{array}\right.\]となり、特殊解の1つが\[y = -4t + 1\]となるので、 に関する一般解が\[x = C_1 e^{t} + C_2 e^{-t} - 4t + 1\]と求まります。, あとは、(1)式\[y =  \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{3}{2} x - t - \frac{1}{2} \tag{1}\]に代入するだけでOK。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = C_1 e^{t} - C_2 e^{-t} -4\]となるので、\[\begin{align*}y & = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{3}{2} x - t - \frac{1}{2}\\ & = \frac{1}{2} \left( C_1 e^{t} - C_2 e^{-t} -4 \right) + \frac{3}{2} \left( C_1 e^{t} + C_2 e^{-t} - 4t + 1 \right) - t - \frac{1}{2}\\ & = 2 C_1 e^{3t} + C_2 e^{3t} - 7t - 1  \end{align*}\]となる。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} x = C_1 e^{t} - C_2 e^{-t} -4 \\ y = 2 C_1 e^{3t} + C_2 e^{3t} - 7t - 1  \end{array}\right.\]と表せ、これが答えとなる。, 今回は、2元の連立微分方程式を2階の連立微分方程式に解く方法について説明しました。, 次回は、行列の対角化を用いて連立微分方程式を解く方法についてまとめていきたいと思います。, 数学と情報が得意な大学生です。数学科目と情報科目をわかりやすく説明するブログを作っています!, うさぎでもわかる微分方程式 Part10 連立微分方程式(2階微分方程式に帰着させて解くパターン). 数学は問題をやればやるだけ力になります。新しい事柄を習ったときは簡単な問題をたくさん 2つの式からなる連立微分方程式を、1つの2階の微分方程式に変形してから解く方法について例題や練習問題を踏まえながらわかりやすく説明しています。 問題 3つの文字、式の連立方程式を解くためには. 3つの文字\(x,y,z\) の中から係数が揃っている、または揃えやすい文字に着目します。 今回であれば、\(z\)の係数が揃っていますね。 2つの式からなる連立微分方程式を、1つの2階の微分方程式に変形してから解く方法について例題や練習問題を踏まえながらわかりやすく説明しています。 答えは知ってますが、どういう経緯でその答えになるか是非知りたいです。お願い... さっきアメリカが国家非常事態宣言を出したそうです。ネットで「これはやばい」というコメントを見たのですが、具体的に何がどうやばいんですか?. どなたか、簡単な説明方法を教えてください。ちなみに負かけ正、正かけ負の計算は理解できています。, 数学の課題で分からないところがあるので質問します。「ある国において、名目GDPは500兆円から504兆円に増加したが、それと共に物価水準は5%上昇した。この国における実質GDPは4%の増加となる。」 ①が個数、②が金額をあらわす式になります。この2つの式から x や y の値を求めるのが連立方程式です。. 身に覚えが無いのでその時は詐欺メールという考えがなく、そのURLを開いてしまいました。 \end{eqnarray}$$, $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}A=B \\B=C \end{array} \right. 基本的な問題で恥ずかしいのですが、易しく解説お願いしたいです。 解いてその事柄を定着させましょう。ある程度理解ができてきたら簡単な問題ばかりやっても の解の比が3:2であるときのaの値です。, 中学数学・3,659閲覧・xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">100, 全部見させていただきました。皆さん解りやすい説明ありがとうございます。理解できました。, 2020年11月1日の全国統一中学生テストの部分分数分解でなぜ下の写真のようになるかが分かりません。どなたか教えてください。, 全国統一中学生テストの数学で部分分数分解の問題がで、なぜ以下の写真のようになるか解説動画を見てもよく分からなかったので、どなたかわかりやすく教えてください。, 11月に受けた全国統一中学生テスト、数学特待生についてです。 ax-6y=-6 内容は円周角と中心角についてです。解き方が分からなかったので答えを見たのですが、ややこしくなってますます分からなくなってきています。 数学の具体的な計算にMaximaを使って、数学もMaximaも同時に学んでしまいましょう。今回はMaximaを使って方程式・連立方程式を解いてみたいと思います。厳密に代数的に解く方法、数値的に解く方法、グラフを描画して解く方法をみていきます。また、漸化式から定まる数列について、その各項 … 変な質問でごめんなさい。2年前に結婚した夫婦です。それまで旦那は「専門学校卒だよー」って言ってました。 \end{eqnarray}$$, 3つの文字\(x,y,z\) の中から係数が揃っている、または揃えやすい文字に着目します。, 今回であれば、\(z\)の係数が揃っていますね。ということで、\(z\)の文字を消す!, 手順②で求めた\(x=-1,  y=4\) を元の連立方程式の3つのいずれかの式に代入します。, $$\begin{eqnarray}x-y+z&=&1\\[5pt](-1)-4+z&=&1\\[5pt]z&=&1+5\\[5pt]z&=&6 \end{eqnarray}$$, 式が3つ並んでいる方程式のときには、それぞれ2つの式を組み合わせて連立方程式を作る。, これらの方程式は計算が複雑になってくるので、たくさん練習をして計算方法を身につけていきましょう。. 「式が2つの連立方程式はできるけど、式が3つになったら途端に難しくなる…」そんな人のために、この記事では式が3つの連立方程式の解き方を、練習問題とともにわかりやすく解説します!やり方さえ覚えれば、式が3つの連立方程式も怖くありません! 開いた後は発送状況を確認できるサイトに移動することは無く、ポップアッ... MSNを閲覧すると下記のメッセージが出ます。 3つの文字、式の連立方程式を解くためには. ①が個数、②が金額をあらわす式になります。この2つの式から x や y の値を求めるのが連立方程式です。. $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}x-y+z=1 \\4x-2y+z=-6 \\9x+3y+z=9\end{array} \right. 絶対値の方程式、不等式の解き方をイチから解説! 【連立不等式】3つの不等式の解き方を問題解説! ←今回の記事 【連立不等式の整数解】範囲に「=」をつける、つけないどっち?? 【文字係数の一次不等式】場合分けのやり方をイチから解説! 方程式に x と y のように2つ文字がある場合、ひとつの方程式だけでは値を求めることができません。 しかし異なる方程式が2つあれば x と y の値を求めることができます。 \end{eqnarray}}$$, 今回の連立方程式では、\(z\)の係数が揃っているので\(z\)の文字を消していきます。, $$\large{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}-3x+y=7 \dots①\\-5x-5y=-15 \dots②\end{array} \right. つい先程SMSで「楽天市場でご購入ありがとうございます。発送状況はこちらにてご確認ください」とリンクを貼られたメッセージがきました。身に覚えがなかったのですが、リンクをクリックするとauじぶん銀行の「第三者の〜」(写真添付)といって閉じるを押したあとにauじぶん銀行のログイン画面になりました。 これを方程式を使わずに解くのを説明しなければいけません。 連立微分方程式とは、\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y \end{array}\right.\]のように未知数(今回は , )が連立方程式の式の数だけ与えられている微分方程式のことを表します。, の4パターンがありますが、今回は「高階微分方程式に変換する方法」についてやっていきたいと思います。, 個の式がある連立微分方程式は、変形を行うことにより 階の微分方程式に変形することができます。, (※連立微分方程式内に , に関係ない項がなければ同次の連立微分方程式となります。), 連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y \end{array}\right.\]を高階微分方程式に変形することで解いてみましょう。, 1番目の式より、\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x \tag{1}\]が成り立ちますね。さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} = 2x +  \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} - \frac{3}{2} x = 0 \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3 x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x = 0\]が導出できます。, ここで、特性方程式\[k^2 -2k - 3 = (k-3)(k+1) = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t}\]と求められます。, あとは、(1)式\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x \tag{1}\]に代入するだけで一般解を求められます。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x\\ & = \frac{1}{2} \left( 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} \right) - \frac{1}{2} \left( C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} \right)\\ & = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t}\end{align*}\]となります。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} \\ y = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} \end{array}\right.\]と表せます。, 2元の定数係数の連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy \end{array}\right.\]を2階の微分方程式に直す方法を確認しておきましょう。, 1番目の式より、\[by = \frac{dx}{dt} - ax \\y = \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x \tag{1}\]が成り立つ。さらに両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となる。, (1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} = cx + d \left( \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x \right) \\\frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} = cx + \frac{d}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{ad}{b} x  \\\frac{d^2 x}{dt^2} - a \frac{dx}{dt} = bc x + d \frac{dx}{dt} - ad x \\\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = 0\]が導出できます。, 上のように、 は行列の対角成分の和、 は行列式(サラスの公式)と考えると頭にいれやすいかと思います。, 未知変数が , の2元連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy \end{array}\right.\]は、2階の定数係数同次微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = 0\]に変形できる。, なお、2番目の式を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy  \right)\]と変形し、さらに両辺を で微分し、\[\frac{dx}{dt} =  \frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx}  \right)\]とすることで1番目の式に代入し、\[\frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx}  \right) = \frac{a}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy  \right) + by \\\frac{d^2 y}{dt^2} - (a+d) \frac{dy}{dt} + (ad-bc) y = 0 \]とすることで、 に関する2階微分方程式としてから解いてももちろんOKです。, (なお、この場合は、求めた の一般解と を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy  \right)\]に代入することで の一般解を求められます。), なお、練習3では に関する2階微分方程式として解いているので、 から変形したい人はぜひご覧ください。, 非同次の2元連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by + f(t) \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy + g(t) \end{array}\right.\]も変形を行うことで、非同次の2階微分方程式に変形をすることができます。, 連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2y + e^{2t} \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y + 2e^{2t} \end{array}\right.\]を高階微分方程式に変形することで解いてみましょう。, 1番目の式より、\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} e^{2t} \tag{1}\]が成り立ちますね。さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - e^{2t} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - e^{2t} = 2x + \left(  \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} e^{2t} \right) + 2 e^{2t} \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} - \frac{3}{2} x = \frac{5}{2} e^{2t} \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3 x = 5 e^{2t}\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x = 5 e^{2t}\]が導出できます。, まずは、同次方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x = 0\]の一般解を求めましょう。, 特性方程式\[k^2 -2k - 3 = (k-3)(k+1) = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t}\]と求められます。, ここで、特殊解を\[x = a e^{2t}\]とおくと、\[\frac{dx}{dt} = 2a e^{2t}, \ \ \ \frac{d^2 x}{dt^2} = 4a e^{2t}\]なので、\[\begin{align*}& \frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x\\ = \ & 4a e^{2t} - 4a e^{2t} - 3a e^{2t}\\ = \ & 5a e^{2t}\end{align*}\]となるので、 となり、特殊解の1つが\[y = - \frac{5}{3} e^{2t}\]となるので、 に関する一般解が\[x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - \frac{5}{3} e^{2t}\]と求まります。, あとは、(1)式\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} e^{2t} \tag{1}\]に代入するだけで一般解を求められます。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{10}{3} e^{2t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x  - \frac{1}{2} e^{2t}\\ & = \frac{1}{2} \left( 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{10}{3}  e^{2t} \right) - \frac{1}{2} \left( C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - \frac{5}{3} e^{2t} \right) - \frac{1}{2} e^{2t}\\ & = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{4}{3} e^{2t} \end{align*}\]となります。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - \frac{5}{3} e^{2t} \\ \frac{dy}{dt} = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{4}{3}e^{2t}  \end{array}\right.\]と表せます。, 2元の定数係数の連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by + f(t) \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy + g(t) \end{array}\right.\]を2階の微分方程式に直す方法を確認しておきましょう。, 1番目の式より、\[by = \frac{dx}{dt} - ax \\y = \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x - \frac{1}{b} f(t) \tag{1}\]が成り立つ。さらに両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{b} f'(t) \tag{2}\]となる。, (1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{b} f'(t) = cx + d \left( \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x - \frac{1}{b} f(t) \right) + g(t) \\\frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{b} f'(t) = cx + \frac{d}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{ad}{b} x - \frac{d}{b} f(t) + g(t)  \\\frac{d^2 x}{dt^2} - a \frac{dx}{dt} - f'(t) = bc x + d \frac{dx}{dt} - ad x - d \ f(t) + b \ g(t) \\\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t)\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t)\]が導出できます。, 公式とはいっても、同次2階微分方程式の公式の右辺側の 0 が に変わるだけです。, 未知変数が , の非同次2元連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by + f(t) \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy +g(t) \end{array}\right.\]は、2階の定数係数同次微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t)\]に変形できる。, なお、2番目の式を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy - g(t) \right)\]と変形し、さらに両辺を で微分し、\[\frac{dx}{dt} =  \frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx} - g' (t) \right)\]とすることで1番目の式に代入し、\[\frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx} - g' (t) \right) = \frac{a}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy - g(t) \right) + by + f(t) \\\frac{d^2 y}{dt^2} - (a+d) \frac{dy}{dt} + (ad-bc) y = g'(t) - a \ g(t) + c \ f(t) \]とすることで、 に関する2階微分方程式としてから解いてももちろんOKです。, (この場合は、求めた の一般解と を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy - g(t) \right)\]に代入することで の一般解を求められます。), 同次の場合は、 から変形しても から変形しても公式自体は大きく変わらないのですが、非同次になると右辺部分がかなり変化するので気を付けましょう。, つぎの連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = 8x+2y \\ \frac{dy}{dt} = -6x+y \end{array}\right.\]の一般解を求めなさい。, つぎの連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = 5x - 2y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y \end{array}\right.\]の一般解を求めなさい。, つぎの非同次の連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = -3x+2y+2t+1 \\ \frac{dy}{dt} = -4x+3y+5t \end{array}\right.\]の一般解を求めなさい。, 1番目の式より、\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x  \tag{1}\]が成立する。, さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - 4 \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - 4 \frac{dx}{dt} = -6x + \left( \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x \right)  \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{9}{2} \frac{dx}{dt} - 10x = 0 \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 9 \frac{dx}{dt} + 20 x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 9 \frac{dx}{dt} + 20x = 0\]が導出できる。, ここで、特性方程式\[k^2 -9k +20 = (k-4)(k-5) = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{4t} + C_2 e^{5t}\]と求められる。, あとは、(1)式\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x  \tag{1}\]に代入するだけでOK。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 4 C_1 e^{4t} + 5 C_2 e^{5t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x\\ & = \frac{1}{2} \left( 4 C_1 e^{4t} + 5 C_2 e^{5t} \right) - 4 \left( C_1 e^{4t} + C_2 e^{5t} \right)\\ & = - 2 C_1 e^{4t} - \frac{3}{2} C_2 e^{5t}\end{align*}\]となる。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} x = C_1 e^{4t} + C_2 e^{5t} \\ y = -2 C_1 e^{4t} - \frac{3}{2} C_2 e^{5t} \end{array}\right.\]と表せ、これが答えとなる。, 1番目の式より、\[y = - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x  \tag{1}\]が成立する。, さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = - \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{5}{2} \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[- \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{5}{2} \frac{dx}{dt} = 2x + \left( - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x \right)  \\- \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + 3 \frac{dx}{dt} - \frac{9}{2} x = 0 \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 6 \frac{dx}{dt} + 9 x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 6 \frac{dx}{dt} + 9x = 0\]が導出できる。, ここで、特性方程式\[k^2 -6k + 9 = (k-3)^2 = 0\]より、 の2重解となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t}\]と求められる。, あとは、(1)式\[y = - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x  \tag{1}\]に代入するだけでOK。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 3 C_1 e^{3t} + C_2 e^{3t} + 3 C_2 te^{3t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x\\ & = - \frac{1}{2} \left( 3 C_1 e^{3t} + C_2 e^{3t} + 3 C_2 te^{3t} \right) + \frac{5}{2} \left( C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t} \right)\\ & = C_1 e^{3t} - \frac{1}{2} C_2 e^{3t} +  C_2 t e^{3t} \end{align*}\]となる。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} x = C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t} \\ y = C_1 e^{3t} - \frac{1}{2} C_2 e^{3t} +  C_2 t e^{3t}  \end{array}\right.\]と表せ、これが答えとなる。, 1番目の式より、\[y =  \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{3}{2} x - t - \frac{1}{2}  \tag{1}\]が成立する。, さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{3}{2} \frac{dx}{dt} - 1 \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{3}{2} \frac{dx}{dt} - 1 = -4x + 3 \left(  \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{3}{2} x - t - \frac{1}{2} \right) + 5t  \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} x = 2t + \frac{1}{2}\frac{d^2 x}{dt^2} - x = 4t - 1\]となり、2階の非同次微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - x = 4t - 1\]が導出できる。, 一般解を出すためにまずは同次方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - x = 0\]の一般解を求める。, ここで、特性方程式\[k^2 - 1 = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{t} + C_2 e^{-t}\]と求められる。, 右辺が なので、特殊解を\[x = at + b\]とおくと、\[\frac{dx}{dt} = a, \ \ \ \frac{d^2 x}{dt^2} = 0\]なので、\[\begin{align*}& \frac{d^2 x}{dt^2} - x\\ = \ & - (at + b)\\ = \ & -at - b\\ = \ & 4t - 1\end{align*}\]となるので、\[\left\{\begin{array}{l} -a = 4 \\[4px] -b = -1 \end{array}\right.

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